読んだ本

はじめまして数学〈1〉自然数を追え、無限を掴まえろ! (幻冬舎文庫)

感想

面白過ぎる本。この本を読んだだけで数学の魔力にとりつかれそうになりました。特にこの本のハイライトである素数の不思議さ。

エラトステネスのふるい法
まず，数を並べて表の形に書きます。これが”ふるいに掛ける数”になります。ここでは，１から１００までの数を書くことにします。
1は約数を１しか持たず，素数とは言えませんから上から「×印」を書いて消します。
次の数は２ですが，これは素数であることを既に確かめましたので，これを残して，２の倍数である４，６，８・・・，すなわち偶数を順に消していきます。この作業は，２の倍数が１つおきに現れることから機械的に実行できますね。
続いて３に注目すると，やはりこれも素数ですから，今度は２つおきに登場する６，９，１２，・・・を消します。このときはすでに６，１２などは２の倍数として消されていますが，気にせずどんどん「×印」を書き加えていってください。この方法は，あまり考えなくてもできることが好い点です。
まったく同様に５を残して５の倍数０，１５，２０・・・続く素数７の倍数１４，２１，２８，・・・を消し，これで消去作業は終了します。実は１００までの素数を求めるには，７までの倍数を消去すれば十分であることが証明されています。これで残った数はすべて素数となったわけです。（これはつぎの素数１１で割られる数がすでに表の中に残っていないことから分かります。）
結局，１００までにある素数は，次の25個
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97
であることがわかりました。
皆さんも数の範囲をもっと広げて「素数探し」を続けてください。範囲を広がれば広がるほど，滅多に素数には出会えなくなりますが，それでも必ずありますから安心して調べてください。
しかし，もっと簡単に次から次へと「素数」を生み出す式はないのでしょうか。残念ながら，限りなく存在する素数を”具体的に順序よく求める方法”はまだ発見されていません。その意味で「エラトステネスのふるい法」は計算機の発達した今日でもなお”現役の方法”として使われているわけです　p119-120

双子素数
巨大素数も大変興味あるものですが，素数を並びをみますと，
３，５，７
１１，１３
１７，１９
２９，３１
とその間が２しか離れていない素数の組があります。素数通しの間隔は，数が大きくなるに従って，次第に離ればなれになっていきますから，隣どおしの奇数が共に素数になることは，そう滅多にあるものではありません。
そこで，これらの数の組は「双子素数」と名付けられ，大いに調べられているのです。実際に素数それ自信は無限に存在しますが，双子素数は限りなく存在するものかどうかわかっていないのです。現在知られているもっとも大きい双子素数の組は

318032361 * (2^107001) - 1,
318032361 * (2^107001) + 1,

です。計算機が誰にでもつかえるようになったいま，大きな素数を具体的に求めることは，数学の研究という狭い枠を超えて，マニアのゲームのようになってきました。皆さんも5年後か10年後ぐらいには，このとても面白いゲームに参加できるかもしれません。（残念ながらこうした世界記録を狙うには，大型高速の計算機を十分に使えるだけの”参加資格”が必要です）